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Seien \(f, g: (a,b) \to \RR\) diff'bar in \(x \in (a,b)\) und \(\lambda \in \RR\). Dann sind:
Sei \(f\) zusätzlich stetig und streng monoton auf \((a,b)\). Dann ist
Sei \((a,b) \xrightarrow{f} (c,d) \xrightarrow{h} \RR\), \(f\) diff'bar in \(x\), \(h\) in \(f(x)\). Dann ist
\((h\circ f):(a,b) \xrightarrow{\hspace{4.5em}} \RR: t \mapsto h(f(t))\) diff'bar in \(x\)
und es gilt \((h\circ f)' = (h'\circ f)\cdot f'\) (Kettenregel)
\(f\) differenzierbar in \(x \Rightarrow f\) stetig in \(x\)
diff'bar,
also stetig
nicht stetig,
also nicht diff'bar
stetig, aber
nicht diff'bar
Sei \(f\) differenzierbar in \(x\). Dann gilt:
\(f\) hat lokales Extremum in \(x \Rightarrow f'(x) = 0\)
Sei \(f\) diffbar auf \((a,b)\), zweimal diff'bar in \(x\). Dann gilt:
\(f\) hat lokales Minimum in \(x \Leftarrow f'(x) = 0\) und \(f''(x) > 0\)
\(f\) hat lokales Maximum in \(x \Leftarrow f'(x) = 0\) und \(f''(x) \lt 0\)
\(f:[a,b] \to \RR\) stetig,
auf \((a,b)\) diff'bar
und \(f(a)=f(b)\)
\(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b): f'(\xi) = 0\)
Mittelwertsatz der Differentialrechnung:\(f:[a,b] \to \RR\) stetig, auf \((a,b)\) diff'bar
\(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b): f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Seien \(f, g: [a,b] \to \RR\) Riemann-int'bar und \(\lambda \in \RR\). Dann sind:
Gilt zudem \(f \leq g\), so ist \(\int_a^b f(x)\text{d}x \leq \int_a^b g(x)\text{d}x\) (Monotonie)
\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow f\) Riemann-integrierbar
\(f: [a,b] \to \RR\) ist Riemann-int'bar \(\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists \varphi,\psi \in \Tc[a,b]:\)
\(\hspace{2em}\varphi\leq f\leq\psi \text{ und } \int_a^b\psi(x)\text{d}x - \int_a^b\varphi(x)\text{d}x \leq \epsilon\)
Mittelwertatz der Integralrechnung:
\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow \exists \xi\in[a,b]:\int_a^b f(x)\text{d}x = f(\xi)\cdot(b-a)\)
\(F:[a,b]\to\RR\) heißt Stammfunktion von \(f:[a,b] \to \RR\) \(:\Leftrightarrow \forall x \in [a,b]: F'(x) = f(x)\)
\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow F: [a,b] \to \RR: x \to \int_a^x f(t)\text{d}t\) ist Stammfunktion von \(f\)
\(F, G\) Stammfunktionen von \(f \Rightarrow \exists c \in \RR: F \equiv G + c\).
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
\(f: [a,b] \to \RR\) stetig mit Stammfunktion \(F\) \(\Rightarrow \forall x,y\in[a,b]:\int_x^y f(t)\text{d}t = F(y)-F(x)\)
Seien \(f, g: [a,b] \to \RR\) stetig diff'bar, dann gilt
Produktregel: \(\phantom{\int_a^b}\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\phantom{\text{d}x} = \phantom{\,\int_a^b}f'(x)\cdot g(x)\phantom{\text{d}x} + \phantom{\,\int_a^b}f(x)\cdot g'(x)\phantom{\text{d}x}\)
\(\int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\phantom{\text{d}x} + \phantom{\,\int_a^b}f(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)
\(\int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x + \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)
\(f(x)\cdot g(x) \big|_a^b = \int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x + \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)
\(\int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x = f(x)\cdot g(x) \big|_a^b - \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\) (Partielle Integration)