\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\NN}{\mathbb{N}} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\Ic}{\mathcal{I}} \newcommand{\Jc}{\mathcal{J}} \newcommand{\Hc}{\mathcal{H}} \newcommand{\Tc}{\mathcal{T}} \newcommand{\Sc}{\mathcal{S}} \newcommand{\Oc}{\mathcal{O}} \newcommand{\OPT}{\mathrm{OPT}} \newcommand{\MST}{\mathrm{MST}} \newcommand{\TSP}{\textbf{TSP}} \newcommand{\HomTSP}{\textbf{HomTSP}} \newcommand{\HetTSP}{\textbf{HetTSP}} \newcommand{\CVRP}{\textbf{CVRP}} \newcommand{\HetCVRP}{\textbf{HetCVRP}} \)

Your browser doesn't support the features required by impress.js, so you are presented with a simplified version of this presentation.

For the best experience please use the latest Chrome, Opera or Firefox browser.

      Differenzierbarkeit  &  Integrierbarkeit

\(f:(a,b)\to\RR\) heißt differenzierbar in \(x \in (a,b)\) \(:\Leftrightarrow \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) existiert
Für alle Folgen \((h_n)\)
mit \(h_n \xrightarrow{n\to \infty} 0\) und \(h_n \neq 0\)
existiert \(\lim_{n\to \infty}\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}\)
und ist unabhängig von der Wahl der Folge.

dann   \(=:f'(x) =: \frac{\text{d}f}{\text{d}x}(x)\)


Seien \(f, g: (a,b) \to \RR\) diff'bar in \(x \in (a,b)\) und \(\lambda \in \RR\). Dann sind:

  • \((f+g): (a,b) \to \RR: t \mapsto f(t)+g(t)\) diff'bar in \(x\) und es gilt \((f+g)' = f' + g'\)
  • \((\lambda\cdot f): (a,b) \to \RR: t \mapsto \lambda\cdot f(t)\) diff'bar in \(x\) und es gilt \((\lambda\cdot f)' = \lambda \cdot f'\)
  • \((f\cdot g): (a,b) \to \RR: t \mapsto f(t)\cdot g(t)\) diff'bar in \(x\) und es gilt \((f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'\)
  • \(\left(\frac{f}{g}\right): (a,b) \to \RR: t \mapsto \frac{f(t)}{g(t)}\) diff'bar in \(x\) und es gilt \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}\)
    (wenn \(g(x)\neq 0\))

Sei \(f\) zusätzlich stetig und streng monoton auf \((a,b)\). Dann ist

  • \(f^{-1}: \text{im}(f) \to (a,b)\) diff'bar in \(y:=f(x)\) und es gilt \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{f'(x)} \)

Sei          \((a,b) \xrightarrow{f} (c,d) \xrightarrow{h} \RR\), \(f\) diff'bar in \(x\), \(h\) in \(f(x)\). Dann ist
\((h\circ f):(a,b) \xrightarrow{\hspace{4.5em}} \RR: t \mapsto h(f(t))\) diff'bar in \(x\)
und es gilt \((h\circ f)' = (h'\circ f)\cdot f'\)   (Kettenregel)

Sätze zur Differentialrechnung

\(f\) differenzierbar in \(x \Rightarrow f\) stetig in \(x\)

also stetig

nicht stetig,
also nicht diff'bar

stetig, aber
nicht diff'bar

Satz zu Extrema:

Sei \(f\) differenzierbar in \(x\). Dann gilt:

\(f\) hat lokales Extremum in \(x \Rightarrow f'(x) = 0\)


Sei \(f\) diffbar auf \((a,b)\), zweimal diff'bar in \(x\). Dann gilt:

\(f\) hat lokales Minimum in  \(x \Leftarrow f'(x) = 0\) und \(f''(x) > 0\)
\(f\) hat lokales Maximum in \(x \Leftarrow f'(x) = 0\) und \(f''(x) \lt 0\)

Satz von Rolle:

\(f:[a,b] \to \RR\) stetig,
auf \((a,b)\) diff'bar
und \(f(a)=f(b)\)

\(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b): f'(\xi) = 0\)

Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

\(f:[a,b] \to \RR\) stetig, auf \((a,b)\) diff'bar

\(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b): f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

\(f:[a,b]\xrightarrow{\text{beschr.}}\RR\) heißt Riemann-integrierbar \(:\Leftrightarrow {\int_a^b}_\ast f(x)\text{d}x \hspace{1.5em}=\hspace{1.5em} {\int_a^b}^\ast f(x)\text{d}x\)
\(\sup\left\{\int_a^b \varphi(x)\text{d}x \middle| \begin{array}{}\varphi\in\Tc[a,b] \\ \varphi\leq f\end{array}\right\}=:\)
\(\inf\left\{\int_a^b \psi\text{d}x \middle| \begin{array}{}\psi\in\Tc \\ \psi\geq f\end{array}\right\}\)
\(\varphi:[a,b]\to\RR\) heißt Treppenfunktion (\(\varphi \in \Tc[a,b]\))
\(:\Leftrightarrow \exists c_k\in \RR, a=x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b: \varphi\big|_{[x_{k-1},x_k]} \equiv c_k\)
Dann setze: \(\int_a^b \varphi(x)\text{d}x := \sum_{k=1}^n c_k\cdot(x_k-x_{k-1})\)

dann   \(=:\int_a^b f(x)\text{d}x\)


Seien \(f, g: [a,b] \to \RR\) Riemann-int'bar und \(\lambda \in \RR\). Dann sind:

  • \((f+g)\) Riemann-int'bar und \(\int_a^b(f+g)(x)\text{d}x = \int_a^b f(x)\text{d}x + \int_a^b g(x)\text{d}x\)
  • \((\lambda f)\hspace{1.05em}\) Riemann-int'bar und \(\int_a^b(\lambda f)(x)\text{d}x = \lambda \int_a^b f(x)\text{d}x\)
  • \(|f|\hspace{2em}\) Riemann-int'bar und \(\left|\int_a^b f(x)\text{d}x\right| \leq \int_a^b |f(x)|\text{d}x\)      („\(\Delta\)-Ungl.“)

Gilt zudem \(f \leq g\), so ist \(\int_a^b f(x)\text{d}x \leq \int_a^b g(x)\text{d}x\)                      (Monotonie)

Sätze zur Integralrechnung

\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow f\) Riemann-integrierbar

\(f: [a,b] \to \RR\) ist Riemann-int'bar \(\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists \varphi,\psi \in \Tc[a,b]:\)
\(\hspace{2em}\varphi\leq f\leq\psi \text{ und } \int_a^b\psi(x)\text{d}x - \int_a^b\varphi(x)\text{d}x \leq \epsilon\)

Mittelwertatz der Integralrechnung:

\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow \exists \xi\in[a,b]:\int_a^b f(x)\text{d}x = f(\xi)\cdot(b-a)\)

\(F:[a,b]\to\RR\) heißt Stammfunktion von \(f:[a,b] \to \RR\) \(:\Leftrightarrow \forall x \in [a,b]: F'(x) = f(x)\)

\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow F: [a,b] \to \RR: x \to \int_a^x f(t)\text{d}t\) ist Stammfunktion von \(f\)

\(F, G\) Stammfunktionen von \(f \Rightarrow \exists c \in \RR: F \equiv G + c\).

Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:

\(f: [a,b] \to \RR\) stetig mit Stammfunktion \(F\) \(\Rightarrow \forall x,y\in[a,b]:\int_x^y f(t)\text{d}t = F(y)-F(x)\)

Seien \(f, g: [a,b] \to \RR\) stetig diff'bar, dann gilt

Produktregel: \(\phantom{\int_a^b}\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\phantom{\text{d}x} = \phantom{\,\int_a^b}f'(x)\cdot g(x)\phantom{\text{d}x} + \phantom{\,\int_a^b}f(x)\cdot g'(x)\phantom{\text{d}x}\)

\(\int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\phantom{\text{d}x} + \phantom{\,\int_a^b}f(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)

\(\int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x + \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)

\(f(x)\cdot g(x) \big|_a^b = \int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x + \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)

\(\int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x = f(x)\cdot g(x) \big|_a^b - \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)         (Partielle Integration)